如何对角化，一般方阵对角化三步

大家好，今天给各位分享如何对角化的一些知识，其中也会对一般方阵对角化三步进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！

一、矩阵如何对角化

设A、B为n阶方阵，μ为A的特征值。

1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

4.若A可逆，则A−1的特征值为1/μ。

5.若A与B相似，则A与B有相同特征多项式，即A与B特征值相同。

6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式，则φ(A)=0。

8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

9.若A的n个特征值互不相同，则A可对角化。

10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。

11.若A有k重特征值μ，齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k，则A可对角化。

12.若A有k重特征值，矩阵A−μE的秩为n−k，则A可对角化。

13.若A是对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量正交。

14.若A是对称矩阵，则A必可对角化。

P^−1AP=diag(μ1,μ2,⋯,μn)

①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；

②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；

③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。

Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ1,μ2,⋯,μn)

①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn；

②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn；

③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化；

⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn，写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。

二、如何判断一个方阵能否对角化

证明如下：设λ是A的任意一特征值，α是其应对的特征向量，则有Aα=λα,

因为α不是零向量，于是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=04.矩阵A一定可以对角化.

因为A-E的每一非零列都是Ax=0的解，所以A-E的每一个非零列都是λ＝0的特征向量，同理A

的每一个非零列都是λ＝1的特征向量，再由R(A)+(A-E)＝n可知矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化.

2.由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解，

类似地可以知道，A的每一列也都是(A-E)x=0的解.

又因为A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大于或等于n,于是R(A)+(A-E)＝n.

三、如何判断一个矩阵是否可以相似对角化

n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。

1、先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；

2、如果有相重的特征值λk，其重数为k，那么你通过解方程（λkE-A）X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个，则A可对角化，若小于k，则A不可对角化。

此外，实对称矩阵一定可对角化。

若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。

说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。

设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵。

参考资料来源：百度百科——对角化

四、矩阵如何对角化,需要哪些条件

将矩阵A的特征多项式完全分解，求出A的特征值及其重数，若k重特征值都有k个线性无关的特征向量，则A可对角化；否则不能角化。

对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量，n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化。

实对称矩阵总可对角化，且可正交对角化。

对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化。

对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理：它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

1、和差运算：同阶对角阵的和、差仍是对角阵。

2、数乘运算：数与对角阵的乘积仍为对角阵。

3、乘积运算：同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的。

五、如何将实对称矩阵相似对角化

1、实对称矩阵相似对角化的方法如下：

2、设A是一个n阶实对称矩阵，那么可以找到n阶正交矩阵T，使得（T的逆阵）AT为对角矩阵。

3、证明：当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立，则对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值（n阶矩阵一定有n个特征值（计数重复的）），设α是A的一个特征向量（α是列向量）。

4、（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量，所以只要把α的每一个元都除以イ，其中イ的平方=（α的转置）*α，就使得α为单位向量（所谓单位向量就是（α的转置）*α=1）。

5、显然所有的单位向量有无数个，且显然可以找到足够多的列单位向量，使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0，因为正交矩阵的充要条件是列（行）向量两两正交且都是单位向量。

6、又因为对方阵而言若AB=E则BA=E，故可以以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q，（所谓正交矩阵就是（Q的转置）*Q=Q*(Q的转置)=E）。由（（α的转置）*A）的转置=Aα=シα得（Q的转置）A的第一行是（シα）的转置，于是（Q的转置）AQ的第1行第1列处是シ（α的转置）α=シ，还可以推出（Q的转置）AQ的第一列除了第一行以外都是0

7、（至于这是为啥实在不方便打字，读者可以自己算一下，提示一下设t是Q的元，tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样，那么这些加起来就是0）。因为Q是正交矩阵，（（Q的逆阵）AQ）的转置=（Q的转置）（A的转置）（Q的逆阵的转置）=（Q的逆阵）AQ，所以（Q的逆阵）AQ也是对称矩阵。

8、所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵，所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕然而正交矩阵一定是可逆矩阵，对方阵而言可逆等价于满秩，乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变，这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化。

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