大家好,今天给各位分享如何对角化的一些知识,其中也会对一般方阵对角化三步进行解释,文章篇幅可能偏长,如果能碰巧解决你现在面临的问题,别忘了关注本站,现在就马上开始吧!
一、矩阵如何对角化
设A、B为n阶方阵,μ为A的特征值。
1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。
2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。
3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。
4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。
5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式,即A与B特征值相同。
6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。
7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式,则φ(A)=0。
8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
9.若A的n个特征值互不相同,则A可对角化。
10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量,则A可对角化。
11.若A有k重特征值μ,齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k,则A可对角化。
12.若A有k重特征值,矩阵A−μE的秩为n−k,则A可对角化。
13.若A是对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量正交。
14.若A是对称矩阵,则A必可对角化。
P^−1AP=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn;
②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn;
③写出矩阵P=(p1,p2,⋯,pn)。
Q^−1AQ=Q^TAQ=diag(μ1,μ2,⋯,μn)
①求A的特征值μ1,μ2,⋯,μn;
②求上述特征值对应的特征向量p1,p2,⋯,pn;
③将k重特征值μi的k个特征向量施密特正交化;
⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q1,q2,⋯,qn,写出正交矩阵Q=(q1,q2,⋯,qn)。
二、如何判断一个方阵能否对角化
证明如下:设λ是A的任意一特征值,α是其应对的特征向量,则有Aα=λα,
因为α不是零向量,于是只能有λ^2-λ=0,所以λ=1或λ=04.矩阵A一定可以对角化.
因为A-E的每一非零列都是Ax=0的解,所以A-E的每一个非零列都是λ=0的特征向量,同理A
的每一个非零列都是λ=1的特征向量,再由R(A)+(A-E)=n可知矩阵A有n个线性无关的特征向量,所以A可以对角化.
2.由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解,
类似地可以知道,A的每一列也都是(A-E)x=0的解.
又因为A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)=R(A)+R(E-A)大于或等于n,于是R(A)+(A-E)=n.
三、如何判断一个矩阵是否可以相似对角化
n级矩阵A可对角化<=>A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。
1、先求特征值,如果没有相重的特征值,一定可对角化;
2、如果有相重的特征值λk,其重数为k,那么你通过解方程(λkE-A)X=0得到的基础解系中的解向量若也为k个,则A可对角化,若小于k,则A不可对角化。
此外,实对称矩阵一定可对角化。
若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必能相似于对角矩阵。
说明:当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关的特征向量,从而未必能对角化。
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵,将M对角化,就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P,使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态,将M对角化,就是确定Kn的一个基,使在该基中对应f的矩阵。
参考资料来源:百度百科——对角化
四、矩阵如何对角化,需要哪些条件
将矩阵A的特征多项式完全分解,求出A的特征值及其重数,若k重特征值都有k个线性无关的特征向量,则A可对角化;否则不能角化。
对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量,n阶单位矩阵的所有特征值都是1,但是它仍然有n个线性无关的特征向量,因此单位矩阵可以对角化。
实对称矩阵总可对角化,且可正交对角化。
对于一个矩阵来说,不一定存在将其对角化的矩阵,但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量,则该矩阵可被对角化。
对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理:它们的特征值和特征向量是已知的,并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
1、和差运算:同阶对角阵的和、差仍是对角阵。
2、数乘运算:数与对角阵的乘积仍为对角阵。
3、乘积运算:同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵,且它们的乘积是可交换的。
五、如何将实对称矩阵相似对角化
1、实对称矩阵相似对角化的方法如下:
2、设A是一个n阶实对称矩阵,那么可以找到n阶正交矩阵T,使得(T的逆阵)AT为对角矩阵。
3、证明:当n=1时结论显然成立。现在证明若对n-1阶实对称矩阵成立,则对n阶实对称矩阵也成立。设シ是A的一个特征值(n阶矩阵一定有n个特征值(计数重复的)),设α是A的一个特征向量(α是列向量)。
4、((α的转置)*A)的转置=Aα=シα。因为特征向量的非零倍数仍然是特征向量,所以只要把α的每一个元都除以イ,其中イ的平方=(α的转置)*α,就使得α为单位向量(所谓单位向量就是(α的转置)*α=1)。
5、显然所有的单位向量有无数个,且显然可以找到足够多的列单位向量,使得他们与α的内积为0且他们两两内积等于0,因为正交矩阵的充要条件是列(行)向量两两正交且都是单位向量。
6、又因为对方阵而言若AB=E则BA=E,故可以以α为第一列人工写出一个正交矩阵Q,(所谓正交矩阵就是(Q的转置)*Q=Q*(Q的转置)=E)。由((α的转置)*A)的转置=Aα=シα得(Q的转置)A的第一行是(シα)的转置,于是(Q的转置)AQ的第1行第1列处是シ(α的转置)α=シ,还可以推出(Q的转置)AQ的第一列除了第一行以外都是0
7、(至于这是为啥实在不方便打字,读者可以自己算一下,提示一下设t是Q的元,tij*t+t..*t..+t..*t..+t..*t..时若每一项的角标都不完全一样,那么这些加起来就是0)。因为Q是正交矩阵,((Q的逆阵)AQ)的转置=(Q的转置)(A的转置)(Q的逆阵的转置)=(Q的逆阵)AQ,所以(Q的逆阵)AQ也是对称矩阵。
8、所以它第一行除了第一列以外也都是0,而除了第一行第一列剩下的一大块矩阵还是一个对称矩阵,所以最后可以反复进行这个过程整成对角矩阵。证毕然而正交矩阵一定是可逆矩阵,对方阵而言可逆等价于满秩,乘以一个方阵满秩方阵以后秩不变,这就证明了你的实对称矩阵一定可以相似对角化。
关于本次如何对角化和一般方阵对角化三步的问题分享到这里就结束了,如果解决了您的问题,我们非常高兴。
未经允许不得转载:考研培训网 » 如何对角化,一般方阵对角化三步