零矩阵的秩是多少？n阶非零矩阵的秩是多少

大家好，零矩阵的秩是多少相信很多的网友都不是很明白，包括n阶非零矩阵的秩是多少也是一样，不过没有关系，接下来就来为大家分享关于零矩阵的秩是多少和n阶非零矩阵的秩是多少的一些知识点，大家可以关注收藏，免得下次来找不到哦，下面我们开始吧！

本文目录

1. 关于矩阵平方零矩阵与秩的关系
2. 秩等于0的矩阵一定是零矩阵吗
3. 两个矩阵的乘积为零 它们的 秩有什么关系
4. 零矩阵的秩是0么
5. 矩阵的秩等于非零特征值的个数吗

一、关于矩阵平方零矩阵与秩的关系

A^2=零矩阵，说明f(x)=x^2是A的一个化零多项式，于是A的特征值只能是0（化零多项式的根）。

设Jondan标准型为J，则J的主对角线元素就是全0。接下来确定Jondan块的阶数：

易得：Jondan块最高为二阶。否则J^2不会等于零矩阵，那么rank(A^2)=rank(J^2)也不会为0，与题意矛盾。

得出结论：A的Jondan标准型是“特征值为0，最高不超过2阶的Jondan型矩阵”。

很显然，rank(A)最小可以是0，即A是零矩阵，符合题意。

n为偶数，且所有Jondan块都是二阶。也就是J=

此时rank(A)达到最大，rank(A)=rank(J)=n/2.

二、秩等于0的矩阵一定是零矩阵吗

1、向量组的秩等于零意味着这个矩阵是零矩阵。矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。

2、参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。

3、矩阵A称为fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩－零化度定理声称它等于f的像的维度。

4、（1）m×n的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的和为 A+ O= O+ A= A，差为 A- O= A，O- A=-A。

5、（2）l×m的零矩阵 O和 m×n的任意矩阵 A的积 OA为 l×n的零矩阵。

6、（3）l×m的任意矩阵 B和 m×n的零矩阵 O的积 BO为 l×n的零矩阵。

三、两个矩阵的乘积为零 它们的 秩有什么关系

我们假定A是在域F上的m×n矩阵并描述了上述线性映射。

只有零矩阵有秩 0A的秩最大为 min(m,n)f是单射，当且仅当A有秩n（在这种情况下，我们称A有“满列秩”）。

f是满射，当且仅当A有秩m（在这种情况下，我们称A有“满行秩”）。

在方块矩阵A（就是m=n)的情况下，则A是可逆的，当且仅当A有秩n（也就是A有满秩）。如果B是任何n×k矩阵，则AB的秩最大为A的秩和B的秩的小者。

即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B))推广到若干个矩阵的情况。

就是：秩（A1A2…Am)≤min（秩（A1），秩（A2），…秩（Am))证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令A、B对应的线性映射分别为f和g，则秩（AB)表示复合映射f·g，它的象Im f·g是g的像Im g在映射f作用下的象。

然而Im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射Im f·g是Im f的一部分。

对矩阵就是：秩（AB）≤秩（A）。对于另一个不等式：秩（AB）≤秩（B），考虑Im g的一组基：（e1，e2，…，en），容易证明（f(e1），f(e2），…，f(en））生成了空间Im f·g，于是Im f·g的维度小于等于Im g的维度。

对矩阵就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干个矩阵的情况证明类似。

作为”<“情况的一个例子，考虑积两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说A）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时A是满秩的。

于是有以下性质：如果B是秩n的n×k矩阵，则AB有同A一样的秩。如果C是秩m的l×m矩阵，则CA有同A一样的秩。A的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m×m矩阵X和一个可逆的n×n矩阵Y使得这里的 Ir指示r×r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。

矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。

四、零矩阵的秩是0么

1、零矩阵的秩是0，非零矩阵的秩>0。

2、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。

3、在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。行秩是A的线性无关的横行的极大数目。如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

4、(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵；

5、m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

6、设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

7、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。

8、例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。

9、参考资料：百度百科——矩阵的秩

五、矩阵的秩等于非零特征值的个数吗

1、此时存在可逆矩阵P满足 P^-1AP=对角矩阵

2、r(A)= r(P^-1AP)= r(对角矩阵)=非零特征值的个数

3、应该是可对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，矩阵与其对角阵秩必然相等，对角阵的秩为非零特征值的个数。

4、根据这一定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换成行阶梯形矩阵，易见该矩阵最高阶非零子式的阶数。显然行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩。这就给出求矩阵秩的方法。

5、（I）α1，α2，…，αsα1，α2，…，αs可以由。

6、（II）β1，β2，…，βtβ1，β2，…，βt线性表出，则r(II)≥r(I)r(II)≥r(I)。

7、解释为：能表出其他向量组，则其他向量组必然在自己的范围内，如果II的秩没有I大，则撑不起I张起的空间。这是很酷的一个定理。

8、r(A)= A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）= A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）。

好了，关于零矩阵的秩是多少和n阶非零矩阵的秩是多少的问题到这里结束啦，希望可以解决您的问题哈！

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